Cara menentukan banyaknya susunan
Pertama: Sediakan empat buah kotak atau tempat (slots)
Bilangan yang akan disusun terdiri dari empat angka. Sehingga banyak kotak yang perlu diisi dengan angka-angka ada sebanyak empat.
Kedua: Isikan angka-angka yang memenuhi syarat untuk mengisi kotak yang disediakan.
Untuk megisi tempat dimulai dari kotak pertama. Kemudian berlanjut ke kotak kedua dan seterusnya. Sampai semua tempat tersisi. Cara mengisi empat kotak yang tersedia terdapat pada tabel berikut.
Diperoleh banyak angka yang dapat menempati kotak pertama sampai keempat berturut-turut adalah 6, 5, 4, dan 3. Empat angka tersebut menempati tempatnya seperti pada kotak-kotak di bawah.
Ketiga: Kalikan semua angka yang mengisi tempat. Hasilnya adalah banyak susunan bilangan yang dicari.
Banyaknya susunan bilangan = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
Jadi, banyaknya bilangan dengan 4 digit yang dapat disusun oleh bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah 360 bilangan. Baca Juga: Operasi Hitung dengan Notasi Faktorial (n!)
Kaidah pencacahan adalah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Dikatakan pencacahan karena hasilnya berupa sebuah bilangan cacah.
Terdapat tiga aturan dalam mencacah, yakni, aturan pengisian tempat yang tersedia, aturan permutasi dan aturan kombinasi
Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia
Aturan pengisian tempat yang tersedia, dibagi menjadi tiga cara, yakni :
(2) Aturan Diagram Cabang
(3) Aturan Perkalian Terurut
Untuk lebih mendalami ketiga aturan tersebut, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini:
01. Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki
02. Ahmad dan Budi adalah calon ketua OSIS di suatu SMA, sedangkan Mahmud, Cici, dan Gani adalah calon wakil ketua, serta Yuli dan Susi adalah calon sekretaris. Dengan menggunakan diagram cabang tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA tersebut
03. Terdapat empat jalan yang menghubungkan kota P dan kota Q, tiga jalan yang menghubungkan kota Q dan kota R serta tiga jalan dari kota R ke kota S. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan seseorang dari koa P ke kota S
05. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7 jika :
(a) angka-angkanya tidak boleh muncul berulang
(b) angka-angkanya boleh muncul berulang
06. Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5 dan 6 jika bilangan itu nilainya harus:
07. Tentukan banyaknya bilangan ribuan yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 jika bilangan itu nilainya :
Ali ingin membuat password yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Banyak password yang dapat dibuat jika Ali mencantumkan
namanya di awal saja atau di akhir saja (huruf kapital dan huruf kecil tidak
dibedakan) adalah ....
01-Aturan Pengisian Tempat
Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)
Jika terdapat angka-angka 9, 7, 6, 5, 4, 2, dan 1 akan dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan, maka banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 900 adalah ....
Latihan Soal Aturan Pengisian Tempat
Aturan pengisian tempat atau filling slot adalah cara untuk menentukan banykanya susunan objek. Contohnya, cara menentukan banyaknya bilangan ratusan ganjil. Bahasan materi ini ada bersama dengan rumus permutasi dan rumus kombinasi.
Dalam aturan pengisian tempat terdapat cara untuk menentukan banyak susunan. Misalnya terdapat pada 3 buah kemeja dan dua buah rok. Banyak susunan yang mungkin dalam memasangkan kemeja dan rok ada sebanyak 6 susunan.
Urutan pasangan kemeja dan rok yang mungkin adalah kemeja peach + skirt hitam, kemeja putih + skirt hitam, kemeja beige + skirt hitam, kemeja peach + skirt navy, kemeja putih + skirt navy, dan kemeja beige + skirt navy. Pembahasan lebih lanjut mengenai aturan pengisian tempat ada di bawah.
Contoh 1 – Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan
Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan yang lebih kecil dari 400 adalah …A. 20 B. 35 C. 40 D. 80 E. 120
Pembahasan: Bilangan terdiri dari tiga angka, sehingga sediakan tiga kotak yang perlu diisi oleh angka-angka sesuai syarat yang diberikan.
Banyak angka yang tersedia untuk mengisi tempat adalah 2, 3, 5, 6, 7, dan 9. Cara keenam angka tersebut mengisi slot mengikuti ketentuan berikut.
Banyak angka yang mengisi tiga tempat:
Jadi, bilangan tiga angka yang nilainya di bawah 400 yang dapat disusun dari angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 adalah 2 × 5 × 4 = 40 bilangan. Jawaban: C
Baca Juga: Perbadaan Permutasi dan Kombinasi
Contoh 2 – Banyak bilangan ganjil yang dapat disusun
Dari angka-angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 akan disusun bilangan ganjil terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan ganjil yang dapat disusun adalah …. A. 120 B. 90 C. 60 D. 36 E. 20
Pembahasan: Susunan bilangan yang akan dicari terdiri dari tiga angka sehingga perlu untuk menentukan bagaimana cara angka-angka menempati tiga tempat berikut.
Cara angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 (ada enam angka) menempati tiga tempat mengikuti ketentuan berikut.
Kotak ketiga: Sebuah bilangan ganjil akan selalu memiliki satuan angka ganjil. Sehingga angka yang dapat menempati kotak ketiga hanya 5, 7, dan 9. Ada tiga bilangan yang dapat menempati kotak ketiga maka P3 = 3.
Kotak pertama:Kotak pertama dapat ditempati banyak angka yang tersedia dikurang satu karena satu angka telah digunakan pada kotak ketiga. Maka banyak angka yang dapat menempati kotak pertama adalah P1 = 6 – 1 = 5.
Kotak kedua: Kotak kedua dapat ditempati banyak angka yang tersedia dikurang dua karena dua angka telah digunakan pada kotak ketiga dan pertama. Maka banyak angka yang dapat menempati kotak kedua adalah P2 = 6 – 2 = 4.
Banyak angka-angka menempati kotak:
Banyaknya bilangan ganjil terdiri dari tiga angka berbeda adalah P1 × P2 × P3 = 5 × 4 × 3 = 60 bilangan. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat disusun adalah 60 bilangan. Jawaban: C
Rumus Aturan Pengisian Tempat
Rumus aturan pengisian tempat adalah perkalian bilangan-bilangan yang menempati tempat tersedia. Misalkan tersedia n buah tempat. Banyak bilangan yang dapat menempati slot pertama, kedua, dan seterusnya adalah p1, p2, …, pn.
Banyaknya susunan yang terjadi adalah p1 × p2 × p2 × … × pn.
Contoh soal:Tentukan banyak bilangan yang terdiri atas empat angka berbeda dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6!
Contoh susunan bilangan yang mungkin adalah 1.234, 3.125, 2.345, dan lain sebagainya. Cara mendaftar semua bilangan yang mungkin akan memakan waktu yang sangat lama. Sehingga sangat tidak dianjurkan. Aturan pengisian tempat dapat menyelesaikan permasalahan seperti ini dengan lebih baik.
Contoh Soal dan Pembahasan
Lebih banyak pembahasan soal mengenai aturan pengisian tempat ada di bawah.
Contoh 3 – Bilangan yang nilainya kurang dari 500
Dari angka 2, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan ganjil yang terdiri dari 3 digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah ….A. 144 B. 72 C. 24 D. 20 E. 16
Pembahasan: Untuk soal ini dimulai dari menentukan banyak angka yang menempati kotak ketiga. Langkah ini dilakukan untuk membentuk bilangan ganjil.
Selanjutnya adalah menentukan banyak angka yang bisa menempati kotak pertama untuk memenuhi bilangan kurang dari 500. Terakhir adalah menentukan banyak angka yang dapat menempati kotak kedua.
Cara angka-angka menempati kotak:
Banyaknya bilangan ganjil dengan 3 digit berbeda adalah P1 × P2 × P3 = 2 × 4 × 2 = 16 bilangan. Jadi, banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 500 adalah 16 bilangan. Jawaban: E
Demikianlah tadi ulasan aturan pengisian tempat (filling slots) dan contoh soalnya. Terima kasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
